Nhân vector với số vô hướng

Nhân một vector $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ với một số thực $c$ (gọi là số vô hướng — scalar) cho ra vector mới, mỗi thành phần được nhân với $c$:

$$c\mathbf{v} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ \vdots \\ cv_n \end{bmatrix}$$

Ý nghĩa hình học

• Nếu $c > 1$: vector được kéo dài, giữ nguyên hướng.
• Nếu $0 < c < 1$: vector bị co ngắn, giữ nguyên hướng.
• Nếu $c < 0$: vector đảo ngược hướng (quay 180°).
• Nếu $c = 0$: kết quả là vector không.

Tổ hợp tuyến tính

Kết hợp phép cộng và nhân vô hướng cho ta khái niệm tổ hợp tuyến tính (linear combination) — nền tảng của gần như mọi phép toán trong đại số tuyến tính:

$$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$$

Ví dụ, một layer trong mạng nơ-ron tính đầu ra là tổ hợp tuyến tính của các đầu vào, với hệ số chính là trọng số đã học.