Đại số tuyến tính cho AI · Bài 1/3

Vector, ma trận và phép nhân ma trận

Bài học minh hoạ — nội dung sẽ được Phòng Học thuật & Nghiên cứu Giáo dục BMATH biên soạn và thẩm định chính thức trước khi xuất bản.

Trong Machine Learning, một tập dữ liệu gồm nn mẫu, mỗi mẫu có dd đặc trưng (feature), thường được biểu diễn dưới dạng ma trận X∈Rn×dX \in \mathbb{R}^{n \times d}. Một mô hình tuyến tính đơn giản dự đoán đầu ra bằng phép nhân ma trận với vector trọng số w\mathbf{w}:

y^=Xw+b\hat{\mathbf{y}} = X\mathbf{w} + b

Với hai ma trận A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} và B∈Rn×pB \in \mathbb{R}^{n \times p}, tích C=AB∈Rm×pC = AB \in \mathbb{R}^{m \times p} được định nghĩa theo từng phần tử:

Cij=∑k=1nAikBkjC_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

Giá trị riêng và vector riêng (eigenvalue/eigenvector)

Với ma trận vuông A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}, một vector khác không v\mathbf{v} là vector riêng ứng với giá trị riêng λ\lambda nếu:

Av=λvA\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

Khái niệm này là nền tảng của Phân tích thành phần chính (PCA) — kỹ thuật giảm chiều dữ liệu phổ biến trong AI, dựa trên các vector riêng của ma trận hiệp phương sai.

Vì sao quan trọng với Deep Learning?

Mỗi lớp (layer) trong mạng nơ-ron thực chất là một phép biến đổi tuyến tính (nhân ma trận trọng số) theo sau bởi một hàm phi tuyến (activation function):

h=σ(Wx+b)\mathbf{h} = \sigma(W\mathbf{x} + \mathbf{b})

Hiểu đại số tuyến tính giúp nắm được cách dữ liệu được biến đổi qua từng lớp mạng. Bài tiếp theo sẽ đi sâu vào chuẩn vector và tích trong — công cụ để đo "độ giống nhau" giữa các vector, nền tảng của cosine similarity, một trong những phép đo quan trọng nhất khi làm việc với embedding trong AI.

Bài tiếp theo →Chuẩn vector, tích trong và khoảng cách